نگاشت های خطی حافظ طیف موضعی روی mn (c)

در سال های اخیر توجه بسیاری با مسایل پایایی خطی شده است. هدف این است که تابع های خطی میان جبرهای باناخ را که حافظ ویژگی خاصی هستند به طور مطلوبی دسته بندی کنیم. یکی از معروف ترین مسایل در این راستا مسئله ی کاپلانسکی است: آیا هر نگاشت خطی پوشا میان دو جبر باناخ نیم ساده که وارون پذیری را حفظ می کند، یک همریختی جردن است؟ در فصل اول مقدمات و پیش نیازهای مورد نیاز از آنالیز تابعی و جبر خطی را می آوریم. در فصل دوم انواع طیف را به طور مختصر معرفی می کنیم و ارتباط میان آن ها را در چند قضیه می آوریم. سپس پیوستگی نگاشت طیفی را در بعضی از حالت ها به ویژه برای جبرهای جابه جایی نشان می دهیم. در فصل سوم نشان می دهیم که هر نگاشت خطی حافظ طیف موضعی در فضاهای با بعد متناهی با شرایط خاصی به صورت یک همریختی درونی در می آید.قضیه ی اصلی مقاله به این صورت است: فرض کنید x یک فضای برداری مختلط با بعد متناهی باشد. در این صورت عملگر ?:l(x)?l(x) طیف موضعی را در نقطه ی x_0 حفظ می کند اگر و تنها اگر عملگر وارون پذیری مانند a در l(x) باشد به گونه ای که a(x_0 )=x_0 و برای هر t، ?(t)=ata^(-1).